eVTOL 电机转速推力建模：从拟合公式到推力响应
飞控系统里有个老问题：飞控说的"推重比"和总体说的"推重比"不是一回事，论证时经常被绕进去。飞控能测能控的是转速，总体关心的是推力，中间这条映射链不建出来，指标就只能停在定性层面。
变量定义：
- $T$：单桨推力（N）；
- $\Omega$：桨角速度（rad/s），$n$：桨转速（rev/s），$\Omega = 2\pi n$；
- $D,\ R$：桨直径、半径（m），$A=\pi R^2$ 为桨盘面积；
- $\rho$：空气密度（kg/m³）；
- $C_T$：无量纲推力系数；$c_t$：叶素理论推力系数；$c_F$：倾转旋翼推力系数；
- $k_T$：工程推力系数（含 $\rho$ 与几何，N·s²/rad²）；
- $\tau$：转速一阶响应时间常数（s）；
- $\zeta,\ \omega_n$：阻尼比、无阻尼自然频率；
- $\chi$：倾转角（推力轴与机体 $z$ 轴夹角）；
- $\lambda_a$：无量纲轴向入流比 $=w/(\Omega D)$；
- $M_p$：峰值超调量。
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## 1. 稳态推力—转速模型
### 1.1 动量理论
动量理论把桨盘视为均匀加载的致动盘，悬停时诱导速度与推力满足 [1][3]：
$$
v_h = \sqrt{\frac{T_{i,h}}{2\rho A}} \tag{1}
$$
结合质量流量与动量变化，消去 $v_h$ 即得推力—转速二次关系。多旋翼建模文献普遍采用 [1][2]：
$$
T_i = b\,\omega_i^2 \quad\text{（角速度 rad/s 记号，[1]）} \tag{2}
$$
以 rev/s 表达的无量纲形式是工程通用写法 [2]：
$$
T_i = C_T\,\rho\, n^2\, D^4, \qquad b = C_T \rho D^4 \tag{3}
$$
这里要小心单位：式 (2) 的 $\omega_i$ 是 rad/s，式 (3) 的 $n$ 是 rev/s，差一个 $(2\pi)^2$ 因子。拿 10×5.5 英寸桨举例，$D=0.254$ m，实测 $C_T=0.121$，$\rho=1.255$ kg/m³ 时 $b=6.317\times10^{-4}$（rev/s 制）[2]。
### 1.2 叶素理论
叶素理论从桨叶微元升力积分出发，在**等弦长、线性扭转、均匀入流**假设下 [1, Eq. 9]：
$$
T_i = c_t\,\rho\,\pi R_p^4\,\omega_i^2 \tag{4}
$$
$$
c_t = \frac{n_b c a}{4\pi R_p}\left(\beta_t - \frac{v_h \pm V}{\omega R_p}\right) \tag{5}
$$
$n_b$ 是桨叶数，$c$ 是弦长，$a$ 是升力线斜率，$\beta_t$ 是桨尖安装角 [1, Eq. 10]。重点在于 $c_t$ 不是常数，它随来流 $V$ 和诱导速度 $v_h$ 变化——前飞和倾转时"推力系数漂移"的物理根源就在这里；前飞时 $c_t$ 还会多出前进比项 [1, Eq. 11]。
### 1.3 工程拟合模型
将式 (3) 由 rev/s 制换算为 rad/s 制，定义**工程推力系数**：
$$
k_T = \frac{C_T \rho D^4}{(2\pi)^2} = \frac{C_T \rho D^4}{4\pi^2} \tag{6}
$$
稳态推力模型统一为：
$$
\boxed{\,T = k_T\,\Omega^2\,} \tag{7}
$$
这就是后面所有推导的地基。工程上也是这么干的，二次曲线是标配：
- PX4 的油门—推力模型：$F/F_{max} = f\,T^2 + (1-f)\,T$，$f$ 为二次项权重（THR_MDL_FAC），转速控制型电调取 $f=1$ 即为纯二次 [12]；
- CTU MRS 平台通过台架实测"油门—推力"数据点，最小二乘拟合二次曲线，至少 3 个测量点 [11]。
### 1.4 行业方案对照：各构型如何用转速换推力
不同构型的 eVTOL 对"转速—推力"这条链的依赖方式不同，但最终都落到式 (7) 上：
| 构型 | 代表机型 | 推力控制方式 | 与式 (7) 的关系 |
| ---------- | ------------------------------ | ----------------- | ------------------------------------ |
| 多旋翼 | 亿航 EH216-S、Volocopter VoloCity | 变转速直接控推力 | $k_T$ 恒定，$\Omega^2$ 直接驱动 [13] |
| 复合翼（升力+巡航） | 峰飞盛世龙、BETA Alia 250、御风未来 M1 | 垂起旋翼变转速 + 巡航桨独立 | 两套 $k_T$，垂起/巡航分用 [13] |
| 倾转旋翼 | Joby S4、沃飞 AE200、时的 E20 | 悬停总距/转速，巡航 rpm+变距 | $k_T(\chi)$ 随倾角调度 [4][15] |
| 倾转涵道 | Lilium Jet | 36 涵道风扇 rpm+倾角双控 | $k_T$ 高桨盘载荷、转速响应极快 [14] |
挑几个有代表性的机型看：
- Lilium Jet：36 个分布式电涵道风扇，官方称"0.1 s 内可改变转速与倾角"，从零推力到最大推力 spin-up 不到 1 s [14]。这是小转动惯量电机 + 快电调环的极端案例，对应本文第 3 节一阶模型的 $\tau$ 极小情形。
- 沃飞 AE200：倾转旋翼，低转速大扭矩设计，公开资料显示最高转速不超过 1600 rpm [17]。大桨 + 低转速意味着 $\Omega$ 基数小、$k_T$ 大，转速环的动态要求与小型桨完全不同。
- Joby S4：6 个可倾转旋翼，悬停用总距（collective pitch）+ 转速，前飞转 rpm+变距 [15]。变距构型在式 (7) 之外多一个 $C_T(\beta)$ 维度，本文第 4 节讨论的 $\chi$ 修正是同一思路的推广。
> 保时捷咨询与 VFS 2021 年对全球 200+ eVTOL 型号的统计：多旋翼 40%、矢量推力（倾转类）38%、复合翼 22% [13]。矢量推力占比近四成，"倾转角进入推力模型"不是个别机型的需求，而是行业主流。
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## 2. 转速动态：一阶还是二阶
转速动态说的是"转速指令到实际转速"的闭环响应。把它压成一阶或二阶线性环节，不是拍脑袋，背后有大量实验辨识撑着。
### 2.1 一阶近似
Yoon (2016) 对"ESC PWM 指令 → 推力"做频响辨识，确认推力动态可精确建模为一阶传递函数 [7]：
$$
G_\Omega(s) = \frac{\Omega(s)}{\Omega^*(s)} = \frac{1}{\tau s + 1} \tag{8}
$$
参数参考：微小型四旋翼 $\tau_m \approx 0.03$ s [6]；eVTOL 级大桨（高转动惯量）显著更大，须实测。$\tau$ 主要来自电机—桨转动惯量与电磁转矩环带宽的折中，也包含 ESC 数字环等效延迟。
### 2.2 二阶近似
当电驱闭环存在可感知的振荡模态（阻尼偏低、柔性传动、负载惯量耦合）时需二阶 [5][8]：
$$
G_\Omega(s) = \frac{\Omega(s)}{\Omega^*(s)} = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2} \tag{9}
$$
NASA 关于 UAM 电机选型的研究指出：ESC 动态会向 heave 响应引入显著相位延迟，等效把一阶垂向模型变为二阶 [8]；ESC 响应带宽经验区间约 0.4–0.8 s 上升时间量级 [8]。eVTOL 级系统（大桨、大惯量、低速 ESC 环）默认按二阶评估更稳妥。
### 2.3 模型选择准则
| 场景 | 推荐模型 | 依据 |
| ----------------- | -------------- | -------------- |
| 小桨、高速电调环、转速环阻尼良好 | 一阶 | 频响实验 [7] |
| eVTOL 大桨、大惯量、长传动链 | 二阶（默认评估） | ESC 相位延迟分析 [8] |
| 推力超调敏感（高度控制、载荷） | 二阶（约束 $\zeta$） | 本文第 3.3 节 |
| 快速前馈/配平计算 | 一阶 | 计算效率优先 |
大型 eVTOL 怎么选？大桨、大惯量、ESC 环带宽有限，默认按二阶评估更稳妥（NASA 指出 ESC 相位延迟会把垂向响应推成二阶 [8]）。但阶次不是写死的，取决于转速环实际阻尼水平：
- 强阻尼（$\zeta \ge 0.83$，即转速超调 ≤ 1%）：复极点远离虚轴、振荡模态可忽略，二阶系统退化为接近一阶。此时控制律设计（内环带宽分配、前馈、配平）可用一阶近似，二阶仅用于 MIL/HIL 与包线验证；
- 弱阻尼（$\zeta \lesssim 0.7$，转速超调 5% 以上）：振荡模态不可忽略，必须按二阶建模，且需承担 3.3 节的推力超调放大后果。
所以结论是：建模阶次由转速环阻尼指标决定。超调压在 1% 以内，就按一阶设计、二阶验证；电驱阻尼不足，全程按二阶处理。
工程上建议仿真和设计阶段都按二阶建，把 $\zeta$ 要求显式写出来（比如 $\zeta\ge0.7$），欠阻尼放大推力超调的账，3.3 节算给你看。
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## 3. 推力响应推导
本节推导"转速指令阶跃 → 推力响应"的解析解，后面控制律设计的结论都靠它。
### 3.1 一阶转速下的推力响应
转速指令阶跃至 $\Omega_0$：
$$
\Omega(t) = \Omega_0\left(1 - e^{-t/\tau}\right)\\ \tag{10}
$$
代入式 (7)：
$$
T(t) = k_T \Omega_0^2 \left(1 - e^{-t/\tau}\right)^2 \tag{11}
$$
归一化推力曲线 $p(t) = T(t)/T_{ss} = \left(1 - e^{-t/\tau}\right)^2$，$T_{ss} = k_T\Omega_0^2$。
### 3.2 推力响应时间 vs 转速响应时间
这里最容易算错，列个对照表：
| 响应目标 | 转速 | 推力 | 时间（以 $\tau$ 为单位） |
| ----------- | ------------------------- | ------------------------- | ---------------------------- |
| 63.2%（一阶定义） | $1-e^{-1}=0.632$，$t=\tau$ | $(1-e^{-t/\tau})^2=0.632$ | 推力 $t \approx 1.585\tau$ |
| 50% | $t=0.693\tau$ | $(1-e^{-t/\tau})^2=0.5$ | 推力 $t \approx 1.228\tau$ |
| 90% | $t=2.303\tau$ | $(1-e^{-t/\tau})^2=0.9$ | 推力 $t \approx 2.976\tau$ |
> 结论 1（推力滞后）：平方映射使推力 63.2% 响应时间约为转速的 1.585 倍，90% 响应约 3 倍转速时间常数。若转速指标（63.2%）定为 0.5 s（$\tau=0.5$ s），则推力 63.2% 响应约 0.79 s，90% 响应约 1.49 s——控制律带宽必须按推力侧分配。
推导示例（63.2%）：$(1-e^{-t/\tau})^2 = 0.632 \Rightarrow e^{-t/\tau} = 1-\sqrt{0.632} \Rightarrow t = -\tau\ln(0.205) \approx 1.585\tau$。
### 3.3 二阶转速下的推力响应与超调放大
转速阶跃响应（欠阻尼 $0<\zeta<1$）：
$$
\Omega(t) = \Omega_0\left[1 - \frac{e^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin\left(\omega_d t + \varphi\right)\right], \qquad \omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2},\ \varphi = \arccos\zeta \tag{12}
$$
推力响应：
$$
T(t) = k_T\,\Omega(t)^2 \tag{13}
$$
设转速峰值超调 $M_{p\Omega} = \Omega_{max}/\Omega_0 - 1$，则推力峰值超调：
$$
M_{pT} = \left(\frac{T_{max}}{T_{ss}}\right) - 1 = (1+M_{p\Omega})^2 - 1 = 2M_{p\Omega} + M_{p\Omega}^2 \tag{14}
$$
| 转速超调 $M_{p\Omega}$ | 对应阻尼比 $\zeta$（近似） | 推力超调 $M_{pT}$ |
| ------------------ | ----------------- | ------------- |
| 1% | 0.83 | ≈ 2.0% |
| 5% | 0.69 | ≈ 10.3% |
| 10% | 0.59 | ≈ 21% |
| 16.3% | 0.50 | ≈ 35% |
| 20% | 0.46 | ≈ 44% |
> 结论 2（平方放大）：推力超调约为转速超调的 2 倍以上。$\zeta=0.7$（转速超调 ~4.6%）时推力超调已近 10%；$\zeta<0.6$ 时超过 20%，对高度控制与载荷安全不可接受。转速环阻尼比下限应取 $\zeta \ge 0.7$。
> 结论 3（阻尼优先级）：相比压低转速响应时间（小 $\tau$/高 $\omega_n$），保证阻尼比更重要——欠阻尼的推力超调对控制品质与安全的破坏，远大于响应时间差一个档位的影响。
### 3.4 转速超调 ≤ 1% 约束下的论证结论
工程上常碰到这种指标：电驱转速环要求超调不超过 1%（归一化到设计点转速）。把它代进式 (12)–(14) 走一遍：
先反推阻尼比。转速峰值超调与阻尼比的关系是 $M_{p\Omega} = \exp\!\left(-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}\right)$，令 $M_{p\Omega} \le 1\%$ 反解：
$$
\zeta \ge \zeta_{\min} = \frac{-\ln M_{p\Omega}}{\sqrt{\pi^2 + \left(\ln M_{p\Omega}\right)^2}} \bigg|_{M_{p\Omega}=0.01} \approx 0.83 \tag{15}
$$
也就是说，转速超调 ≤ 1% 等价于阻尼比 ≥ 0.83。这是个相当高的要求，电驱环得调成接近临界阻尼的形态。
再看推力超调会被放大到多少。由式 (14)，1% 转速超调对应：
$$
M_{pT} = 2 \times 1\% + (1\%)^2 \approx 2\% \tag{16}
$$
推力侧约 2%，还能接受。这正是"转速超调 ≤1%"约束成立的关键：它把推力超调天然限制在 ~2% 量级，高度环和载荷不会因转速动态承受过大的瞬态过载。
第三看响应时间。超调被压住了，但推力响应时间依旧按 3.2 节的结果滞后于转速：63.2% 约 1.585 倍转速时间常数，90% 约 3 倍。超调约束只限制瞬态峰值，不改变滞后——响应时间与超调是两个正交的指标维度，必须同时给出（电驱指标表里同时定义这两个量，就是这个原因）。
最后落到模型阶次上。$\zeta \ge 0.83$ 属于强阻尼区，主导极点远离虚轴、振荡模态可忽略，转速动态退化为接近一阶，2.3 节的结论在这里成立：超调 ≤1% 约束下，控制律设计可按一阶近似（$\tau \approx 1/(\zeta\omega_n)$），二阶仅用于验证。
> 结论 4（超调 ≤1% 的完整链）：转速超调 ≤1% ⇒ 转速环 $\zeta\ge0.83$（强阻尼）⇒ 推力超调 ≈2%（可接受）⇒ 推力响应时间仍滞后（63.2%≈1.585τ，90%≈3τ）⇒ 模型可退化为近一阶。阻尼约束决定了推力瞬态安全，但决定不了推力滞后；控制律带宽必须按推力侧（而非转速侧）分配。
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## 4. 倾转角扩展：从垂直到倾转
### 4.1 推力矢量与旋转矩阵
倾转构型下第 $i$ 个电机推力方向随倾转角 $\chi_i$ 变化，机体坐标系下 [4][5]：
$$
\mathbf{T}_i^{\mathcal{B}} = T_i\,\mathbf{R}_{\chi_i}\,\mathbf{e}_3, \qquad
\mathbf{R}_{\chi_i} = \begin{bmatrix} \cos\chi_i & 0 & \sin\chi_i \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\chi_i & 0 & \cos\chi_i \end{bmatrix} \tag{17}
$$
展开：
$$
\mathbf{T}_i^{\mathcal{B}} = T_i \begin{bmatrix} \sin\chi_i \\ 0 \\ \cos\chi_i \end{bmatrix} \tag{18}
$$
其中 $T_i = k_T(\chi_i, v)\,\Omega_i^2$。垂向安装就是 $\chi=90°$ 的特例，固定翼巡航态是 $\chi=0°$。倾转角范围参考复合倾转旋翼的设计：多旋翼模式 90°、固定翼模式 0°，机构能到 [−45°, 135°] [4]。
### 4.2 倾转对推力系数的影响
1. 斜流效应：倾转旋翼连续倾转的 CFD 研究表明，推力随倾角增大而增大、随前进比减小而增大；**合力方向角比倾角大 2°–10°**（桨盘法向力所致），偏差随前进比增大 [5]。
2. 入流比修正：把 $C_T$ 写成无量纲轴向入流比 $\lambda_a = w/(\Omega D)$ 的多项式是文献推荐的工程做法 [9]：
$$
C_T(\lambda_a) = b_{T2}\lambda_a^2 + b_{T1}\lambda_a + b_{T0} \tag{19}
$$
系数 $b_{Ti}$ 由桨几何（桨距比 $\beta$）确定 [9]，可经台架风洞数据拟合。
### 4.3 统一建模形式
综合式 (7)(18)(19)，得到**覆盖垂向与任意倾转角的统一推力模型**：
$$
\boxed{\,T_i = \left[k_{T0} + k_{T1}(\chi_i)\,\lambda_a + k_{T2}(\chi_i)\,\lambda_a^2\right]\Omega_i^2\,} \tag{20a}
$$
$$
\mathbf{T}_i^{\mathcal{B}} = T_i \begin{bmatrix} \sin\chi_i \\ 0 \\ \cos\chi_i \end{bmatrix} \tag{20b}
$$
工程实现时 $k_{T0}$、$k_{T1}(\chi)$、$k_{T2}(\chi)$ 用**倾角分段查表 + 多项式插值**：悬停段（$\chi\approx90°$）用 $k_{T0}$ 单参数，过渡段用 $\chi$ 线性插值，巡航段（$\chi\approx0°$）独立标定。
> 结论 5（构型统一）：垂向多旋翼、复合翼垂推、倾转旋翼共用式 (20) 骨架，差异仅在 $k_T(\chi)$ 标定表——这使控制律与仿真平台可在全构型间复用。
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## 5. 总结
模型链：转速指令 → 转速动态（一阶/二阶）→ $T = k_T(\chi,v)\,\Omega^2$ → 推力矢量分解 → 机体力。
几条结论，推导都在正文：
1. 推力滞后：推力 63.2% 响应 ≈ 1.585τ、90% ≈ 3τ → 控制律带宽按推力侧分配；
2. 平方放大：推力超调 = 2M_pΩ + M_pΩ² → 转速环阻尼下限 ζ ≥ 0.7；
3. 阻尼优先：欠阻尼对推力超调的破坏远大于响应时间差一个档位；
4. 超调 ≤1% 链：ζ ≥ 0.83 → 推力超调 ≈2% → 模型退化为近一阶（一阶设计、二阶验证）；
5. 构型统一：垂向/倾转共用式 (20) 骨架，仅 $k_T(\chi)$ 标定表不同。
工程落地：
| 应用 | 做法 |
|------|------|
| 配平/前馈 | $\Omega^* = \sqrt{T_{cmd}/k_T}$ 反解 |
| 控制分配/增益调度 | 推力指令经 $k_T$ 分配为转速平方；$k_T(\chi,v)$ 随倾角/空速调度 |
| 参数标定 | 台架拟合 $k_T$ → 频响法辨识 $(\tau,\zeta,\omega_n)$ → 倾角分段标定 → 试飞回代验证 |
| 指标折算 | 转速 63.2%/超调/稳态误差 → 推力 1.585τ / ≈2×超调 / ≈2×误差（式 (11)(14)） |
Simulink 实现（模块划分与接入方式）：
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## 参考文献
- [1] De Simone, M. C., Russo, F., Guida, D. "Control Design for an Under-Actuated UAV Model." FME Transactions, Vol. 46, No. 4, 2018.（动量理论式 (6)、叶素理论式 (9)–(11)、悬停诱导速度式 (8)）🔗
https://simlab.mas.bg.ac.rs/_media/istrazivanje/fme/vol46/4/2_mc_de_simone_et_al.pdf
- [2] "Mathematical & Physical Modelling of a Quadrotor UAV." Birmingham City University (open access).（推力—转速二次模型式 (9)，$b=C_T\rho D^4$ 式 (10)，10×5.5 桨参数表）🔗
- [3] Leishman, G. J. Principles of Helicopter Aerodynamics, 2nd ed., Cambridge University Press, 2006.（动量理论悬停诱导速度标准推导；教材，无公开全文，可经图书馆/出版社获取）🔗
- [4] Liang, Z., Fan, L., Wen, G., Xu, Z. "Design, Modeling, and Control of a Composite Tilt-Rotor Unmanned Aerial Vehicle." Drones, 8(3):102, 2024 (MDPI).（倾转角定义与范围、推力矢量 $T=c_F(v,\omega)\omega^2$、旋转矩阵 $\mathbf{R}_{\chi_i}$，见 3.1–3.2 节）🔗
https://www.mdpi.com/2504-446X/8/3/102 （DOI: 10.3390/drones8030102）
- [5] "Dynamic thrust of the propeller in oblique flows in continuous conversion mode of tiltrotor." Advances in Aerodynamics, 7:20, 2025.（倾转过程推力变化规律、合力方向角 2°–10° 偏差、等效入流速度公式 $V_{eq}=V_0\cos(k_{eq}\alpha)$ 见 3.3 节）🔗
https://link.springer.com/article/10.1186/s42774-025-00212-9 （DOI: 10.1186/s42774-025-00212-9）
- [6] Saj, V., Vemuri, S., Kalathil, D., Benedict, M. "Adaptive Outer-Loop Control of Quadrotors via Reinforcement Learning." arXiv:2605.16015, 2026.（一阶电机滞后模型 $\dot\Omega=(1/\tau_m)(\Omega_c-\Omega)$，$\tau_m=0.03$ s，见 4.3 节）🔗
https://arxiv.org/abs/2605.16015
- [7] Yoon, M. "A Transfer Function Model of Thrust Dynamics for Multi-Rotor Helicopters." IJERT, Vol. 5, Issue 1, 2016.（频响实验确认推力动态一阶模型；操作点处 $\Delta T/\Delta u = 2.17/(s+6.67)$，$\tau\approx0.15$ s）🔗
https://www.ijert.org/a-transfer-function-model-of-thrust-dynamics-for-multi-rotor-helicopters （DOI: 10.17577/IJERTV5IS010073）
- [8] "Impact of Handling Qualities on Motor Sizing for Multirotor Aircraft with Urban Air Mobility Missions." NASA rotorcraft.arc.nasa.gov.（ESC 动态、上升时间/超调与阻尼对应、ESC 带宽 0.4–0.8 s、heave 二阶化）🔗 https://rotorcraft.arc.nasa.gov/Publications/files/Impact_of_Handling_Qualities_on_Motor_Sizing_for_Multirotor_Aircraft_with_Urban_Air_Mobility_Missions_final.pdf
- [9] Kedarisetty, S., Manathara, J. G. "Performance Assessment Framework for Multirotor UAV Microgravity Platforms." Microgravity Sci. Technol. 35, 52, 2023.（$C_T$ 关于 $\lambda_a=w/(\Omega D)$ 的二次多项式模型，式 (17)–(19) 见附录 A）🔗
https://link.springer.com/article/10.1007/s12217-023-10074-9 （DOI: 10.1007/s12217-023-10074-9）
- [10] "Non-Monotonic Efficiency of Leeward Propellers in Crosswind: Wake Ingestion Dynamics in Quadcopter Systems." Aerospace, 13(8):715, 2026 (MDPI).（$C_T=T/(\rho n^2 D^4)$ 定义式 (1)、CFD 与实验偏差 3.8%（推力）/5.4%（扭矩），见 2.3 节）🔗
https://www.mdpi.com/2226-4310/13/8/715 （DOI: 10.3390/aerospace13080715）
- [11] CTU MRS UAV System 文档, "Motor thrust model."（油门—推力二次曲线拟合工程实践，≥3 测量点，拟合模型 $T=a\sqrt{f}+b$）🔗
https://ctu-mrs.github.io/docs/1.5.0/api/motor_thrust_model
- [12] PX4 User Guide, "Multicopter PID Tuning Guide (Manual/Advanced)" → Thrust Curve 章节.（$F/F_{max}=fT^2+(1-f)T$ 参数化模型，THR_MDL_FAC 参数说明）🔗 https://docs.px4.io/v1.17/en/config_mc/pid_tuning_guide_multicopter
- [13] 保时捷咨询 + 美国垂直飞行协会 (VFS) 构型统计（多旋翼 40%/矢量推力 38%/复合翼 22%）：该百分比经申万宏源《eVTOL 产业深度》报告转引（见下）；原始统计可参考 Porsche Consulting 2018《The Future of Vertical Mobility》（三构型速度/认证对比表）🔗
VFS World eVTOL Aircraft Directory（官方构型目录，含 Vectored Thrust / Lift+Cruise / Multicopter 分类）🔗 https://vtol.org/evtol-directory
- [14] Lilium Jet 官方公开资料：36 涵道风扇、0.1 s 变转速/倾角、spin-up <1 s。Lilium 官网 🔗 https://www.lilium.com/newsroom-detail/youve-never-seen-anything-like-this-an-introduction-to-the-lilium-jet ；
eVTOL News 技术解读 🔗 https://evtol.news/news/liliums-technology-approach-explained
- [15] Joby S4 公开技术资料（6 倾转旋翼、悬停总距+转速、前飞 rpm+变距）：Radio Hangar 分析 🔗
https://radiohangar.com/blog/posts/joby-s-s4-the-tilt-six-propulsion-system-and-why-the-air-taxi-race-comes-down-to-how-you-turn ；SNU "2022 eVTOL Design Short Course" 各构型控制方式整理 🔗、https://ocw.snu.ac.kr/sites/default/files/NOTE/5%20Rotor%20Design%20and%20Stability%20and%20Control.pdf
- [16] 沃飞长空 AE200 公开资料：5–6 座级倾转旋翼、上单翼矢量推力构型、分布式电推进、多动力冗余、非相似多余度飞控、TC 取证进度。潮新闻/沃飞专访 🔗 https://tidenews.com.cn/news.html?id=2907272（**此篇不含转速数据**，正文 1600 rpm 数据引自 [17]）
- [17] 蚌埠新闻网 2026-06 "智能驾驶飞行器进入商业化前夜"（AE200 低转速大扭矩设计、最高转速不超过 1600 rpm、300 m 高空 45dBA 噪音、冗余设计）🔗
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