INDI 与经典控制的等价性证明

变量定义：

采样周期 $t_s$（或 $T_s$）；

控制效能 $G$ / $g$ / $B$，其标称（标量）取 $\bar g$；

期望误差动态增益 $k_P, k_D$；

$e$ 为跟踪误差；

$\dagger$ 为 Moore–Penrose 伪逆；

$s$ 为拉氏算子，$z$ 为离散算子。

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## 1. 简述 NDI 与 INDI

### 1.1 NDI 推导

考虑飞行器角速率动力学（欧拉方程整理后），它是"相对阶为 1 的输入仿射系统"的代表：

$$

\dot{\omega} = f(\omega) + G(\omega)\,\delta, \qquad y = \omega

\qquad (1)

$$

- $\omega\in\mathbb{R}^3$：角速率（状态=输出）；$\delta\in\mathbb{R}^3$：舵面偏角（控制输入）；

- $f(\omega)$：含气动力与惯性项的"状态相关部分"；

- $G(\omega)$：控制效能矩阵（舵面 → 角加速度的增益），假设可逆。

控制目标：让 $\omega$ 跟踪光滑指令 $y_d$。定义误差 $e = y_d - y$。

NDI（非线性动态逆）的两步：

设定期望的误差动态，取虚拟控制量$\dot \omega=v$：

$$

\nu = \dot{y}_d + k_P\, e

\qquad (2)

$$

由式 (1) 解出 $\delta$：

$$

\delta = G(\omega)^{-1}\,\bigl[\,\nu - f(\omega)\,\bigr]\\

=G(\omega)^{-1}\,\bigl[\,\dot y_d+K_p e - f(\omega)\,\bigr]

\qquad (3)

$$

把式 (3) 代回式 (1)：于是闭环 $\dot y = \nu = \dot y_d + k_P e$，即

$$

\dot{e} + k_P\, e = 0

\qquad (4)

$$

误差指数收敛到 0。

NDI 的本质：用 $f$ 和 $G$ 的精确模型"抵消"非线性，把对象变成纯积分器 $\dot y = \nu$。

NDI 的不足：式 (3) 显式用到 $f(\omega)$。$f$ 含气动项，实践中难以精确获取；$f$ 有误差，抵消就不完全，鲁棒性差。**INDI 就是为了去掉对 $f$ 的依赖而生。**

### 1.2 INDI 推导

对式 (1) 在"当前时刻附近"做一阶泰勒展开。取一个很小的时间延迟 $\lambda$（工程上取一个采样周期），记 $\omega_0=\omega(t-\lambda)$、$\delta_0=\delta(t-\lambda)$：

$$

\dot{\omega} \approx \dot{\omega}_0 + \underbrace{\frac{\partial f}{\partial \omega}\Big|_0 (\omega-\omega_0)}_{\text{状态缓变项}} + G_0\,(\delta - \delta_0)

\qquad (5)

$$

关键假设：控制频率足够高、$\lambda$ 足够小，使得 $f$ 在一个 $\lambda$ 内几乎不变，即

$$

\epsilon_{\mathrm{INDI}} \equiv f\bigl(\omega(t-\lambda)\bigr) - f\bigl(\omega(t)\bigr) \approx 0

\qquad (6)

$$

于是状态缓变项可以丢掉，式 (5) 简化为

$$

\Delta\dot{\omega} \approx G_0\,\Delta\delta

\qquad (7)

$$

即"角加速度的增量 ≈ 控制效能 × 控制增量"。令 $\dot\omega = \nu$ 解出 $\delta$，得 INDI 控制律：

$$

\boxed{\;\delta(t) = \delta(t-\lambda) + G_0^{-1}\,\bigl[\,\nu - \dot{\omega}(t-\lambda)\,\bigr]\;}

\qquad (8)

$$

对比式 (3) 与式 (8)：NDI 里是 $-f(\omega)$，INDI 里是 $-\dot\omega(t-\lambda)$。因为由式 (1) 在 $t-\lambda$ 时刻有 $\dot\omega(t-\lambda) = f(\omega_0) + G_0\delta_0$，即**测得的角加速度里"免费"包含了 $f$**。INDI 用一个测量值 $\dot\omega(t-\lambda)$（陀螺微分或加速度计）就把未知的 $f$ 顶替掉了，只留下相对好建模的 $G_0$。

### 1.3 标称写法

把式 (1) 改写，把控制效能里"选定一个标称标量 $\bar g$"单拎出来：

$$

\dot{\omega} = H + \bar{g}\,\delta, \qquad H \equiv f(\omega) + \bigl(G(\omega) - \bar{g}\bigr)\delta

\qquad (9)

$$

$H$ 把"所有不确定的东西"（$f$ 加上效能偏差 $(G-\bar g)\delta$）打包在一起。对式 (9) 重复 1.2 的推导，得不含 $G$、只含 $\bar g$ 的 INDI 律：

$$

\delta(t) = \delta(t-\lambda) + \bar{g}^{-1}\,\bigl[\,\nu - \dot{\omega}(t-\lambda)\,\bigr]

\qquad (10)

$$

这样控制律里**只有一个标量参数 $\bar g$** 需要整定

---

## 2. 等价性：INDI ≡ TDC ≡ PI（及 PID 变体）

### 2.1 INDI 与TDC的等价性

时滞控制（Time-Delay Control, TDC）是机器人界对付模型不确定的经典方法。思想与 INDI 几乎一样：**不估计不确定项 $H$，而是假设它在一个延迟步内不变，用上一拍的测量把它"估"出来**——这叫时滞估计（TDE）：

$$

\epsilon_{\mathrm{TDC}} \equiv H(t-\lambda) - H(t) \approx 0

\qquad (11)

$$

TDC 的动态逆。对式 (9) 直接解 $\delta$：

$$

\delta = \bar{g}^{-1}\,\bigl[\,\nu - \bar{H}\,\bigr]

\qquad (12)

$$

其中 $\bar H$ 是 $H$ 的估计（$\bar H = H$ 时就是完美 NDI）。

用 TDE 假设式 (11) 给出 $\bar H$。既然 $H(t)\approx H(t-\lambda)$，由式 (9) 在 $t-\lambda$ 时刻写出：

$$

\bar{H} = H(t-\lambda) = \dot{\omega}(t-\lambda) - \bar{g}\,\delta(t-\lambda)

\qquad (13)

$$

第 3 步——把式 (13) 代入式 (12)：

$$

\delta(t) = \bar{g}^{-1}\Bigl[\nu - \bigl(\dot{\omega}(t-\lambda) - \bar{g}\delta(t-\lambda)\bigr)\Bigr]

= \delta(t-\lambda) + \bar{g}^{-1}\bigl[\nu - \dot{\omega}(t-\lambda)\bigr]

\qquad (14)

$$

结论：式 (14) 与 INDI 律式 (10) 相同：

$$

\therefore\quad \mathrm{INDI} \equiv \mathrm{TDC}

\qquad (15)

$$

航空界叫 INDI（假设式 (6)，$f$ 一拍不变），机器人界叫 TDC（假设式 (11)，$H$ 一拍不变），数学上是同一个假设、同一个律。

### 2.2 INDI与增量PI的等价性

把INDI与增量 PI摆在一起逐项对比。

INDI 的采样形式：取最小延迟 $\lambda = t_s$（一个采样周期），由因果性把 $\nu$ 取在 $k-1$ 拍，式 (14) 写成

$$

\delta(k) = \delta(k-1) + \bar{g}^{-1}\,\bigl[\,\nu(k-1) - \dot{\omega}(k-1)\,\bigr]

\qquad (16)

$$

考虑 $\nu = \dot y_d + k_P e$（式 (2)），并注意 $\dot e = \dot y_d - \dot\omega$（因为 $y=\omega$），得到 $\nu - \dot\omega = \dot e + k_P e$，所以

$$

\delta(k) = \delta(k-1) + \bar{g}^{-1}\,\bigl[\,\dot e(k-1) + k_P\, e(k-1)\,\bigr]

\qquad (17)

$$

标准 PI 及其增量形式：标准（位置式）PI 为

$$

\delta(t) = K\Bigl[\,e(t) + T_I^{-1}\!\int_0^t e(\sigma)\,d\sigma\,\Bigr] + \delta_{DC}

\qquad (18)

$$

离散化后，把相邻两拍的指令相减，得到"增量式 PI"：

$$

\delta(k) = \delta(k-1) + K\,t_s\,\bigl[\,\dot e(k-1) + T_I^{-1}\, e(k-1)\,\bigr]

\qquad (19)

$$

对比式 (17) 与式 (19)：

- $\dot e$ 项系数：$\bar g^{-1} = K\,t_s$；

- $e$ 项系数：$\bar g^{-1} k_P = K\,t_s\,T_I^{-1}$。

把第一式代入第二式：$\bar g^{-1}k_P = \bar g^{-1} T_I^{-1}$，即 $T_I^{-1} = k_P$。于是得到**增益映射**：

$$

\boxed{\;K = \bigl(\bar{g}\,t_s\bigr)^{-1} = \frac{1}{\bar{g}\,t_s}\,, \qquad T_I^{-1} = k_P \;\;(\text{即 } T_I = \tfrac{1}{k_P})\;}

\qquad (20)

$$

这个映射告诉我们：

1. 期望误差动态增益 $k_P$ 对应 PI 的**积分**作用（$T_I^{-1}=k_P$）；

2. 效能 $\bar g$ 对应 PI 的**比例**作用（$K = 1/(\bar g t_s)$）；

3. 我们对一个PI架构的控制器，设计特定的变增益，便能等价于INDI的效果。

### 2.3 INDI与增量 PID 的等价性

对于二阶系统（$\ddot y = f + G u$，相对阶 2），INDI 作用于最内环 $\dot\omega = \ddot y = f + G u$，其中 $\omega \equiv \dot y$ 为角速率状态。期望误差动态需包含二阶项：

$$

\ddot{e} + k_D\,\dot{e} + k_P\, e = 0

\qquad (21)

$$

INDI 的离散形式（同式 (16)）：

$$

\delta(k) = \delta(k-1) + \bar{g}^{-1}\,\bigl[\,\nu(k-1) - \dot{\omega}(k-1)\,\bigr]

$$

虚拟控制：由式 (21) 得 $\ddot e = \ddot y_d - \ddot y = \ddot y_d - \dot\omega$，代入期望动态

$$

\ddot y_d - \dot\omega + k_D\dot e + k_P e = 0 \;\Longrightarrow\; \nu = \ddot y_d + k_D\dot e + k_P e

$$

关键简化：$\nu - \dot\omega = (\ddot y_d + k_D\dot e + k_P e) - \dot\omega = \ddot e + k_D\dot e + k_P e$，代入式 (16) 得

$$

\delta(k) = \delta(k-1) + \bar{g}^{-1}\,\bigl[\,\ddot e(k-1) + k_D\,\dot e(k-1) + k_P\, e(k-1)\,\bigr]

\qquad (22)

$$

标准 PID（位置式）：

$$

\delta(t) = K\Bigl[\,e(t) + T_I^{-1}\!\int_0^t e(\sigma)\,d\sigma + T_D\,\dot e(t)\,\Bigr] + \delta_{DC}

\qquad (23)

$$

增量式 PID（相邻两拍相减，积分项差为 $t_s\,e(k-1)$，微分项差为 $t_s\,\ddot e(k-1)$）：

$$

\delta(k) = \delta(k-1) + K\,t_s\,\bigl[\,\dot e(k-1) + T_I^{-1}\, e(k-1) + T_D\,\ddot e(k-1)\,\bigr]

\qquad (24)

$$

逐项对比式 (22) 与式 (24)：

| 项 | INDI 系数 | 增量 PID 系数 |

|:-:|:-:|:-:|

| $\ddot e$ | $\bar g^{-1}$ | $K\,t_s\,T_D$ |

| $\dot e$ | $\bar g^{-1} k_D$ | $K\,t_s$ |

| $e$ | $\bar g^{-1} k_P$ | $K\,t_s\,T_I^{-1}$ |

由 $\dot e$ 项得 $K\,t_s = \bar g^{-1} k_D$，即

$$

K = \frac{k_D}{\bar g\,t_s}

\qquad (25)

$$

代入 $\ddot e$ 项：$\bar g^{-1} = K\,t_s\,T_D = \frac{k_D}{\bar g\,t_s}\cdot t_s\cdot T_D = \frac{k_D}{\bar g}\,T_D$，解得

$$

T_D = \frac{1}{k_D}

\qquad (26)

$$

代入 $e$ 项：$\bar g^{-1} k_P = K\,t_s\,T_I^{-1} = \frac{k_D}{\bar g\,t_s}\cdot t_s\cdot T_I^{-1} = \frac{k_D}{\bar g}\,T_I^{-1}$，解得

$$

T_I = \frac{k_D}{k_P}

\qquad (27)

$$

综合式 (25)–(27) 得 增益映射：

$$

\boxed{\;K = \frac{k_D}{\bar{g}\,t_s}\,, \qquad T_I = \frac{k_D}{k_P}\,, \qquad T_D = \frac{1}{k_D}\;}

\qquad (28)

$$

这个映射告诉我们：

1. 期望误差动态的**微分增益** $k_D$ 映射为 PID 的比例增益 $K$（含 $t_s$ 和 $\bar g$ 缩放）；$k_D$ 越大，$K$ 越大。

2. 期望的**比例增益** $k_P$ 映射为 PID 的积分时间 $T_I$（$k_P$ 越大，$T_I$ 越小，积分越强）。

3. 微分时间 $T_D$ 仅由 $k_D$ 决定（$T_D = 1/k_D$），与 $\bar g$ 和 $t_s$ 无关。

4. 沿飞行包线**只需调度单一参数 $\bar g$**（控制效能），就可以维持完整的 PID 三参数匹配。

> 与 2.2 节（PI）的对比：当 $k_D = 1$ 且期望动态退化为一阶时，式 (28) 退化为式 (20) 的 PI 映射（$K = 1/(\bar g t_s)$，$T_I = 1/k_P$，$T_D$ 消失），两者自洽。

### 2.4 说明

- 等价对**相对阶 1（PI）/ 二阶标准形（PID）**严格成立；更高阶需级联或反馈线性化扩展。

- 依赖假设式 (6)/(11)：采样足够快（$t_s$ 小）、执行机构带宽远高于控制带宽。

- 等价是**控制信号层面**的；$\bar g$ 须按稳定性条件选取（理想取真实效能的最佳估计）。

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## 3. INDI ≡ 基于奇异摄动的动态逆

### 3.1 奇异摄动动态逆

控制量u嵌在非线性函数内部，无法直接解出 u，飞行器 / 机器人大量存在这种模型（舵面效能随舵角非线性、耦合气动项）。

系统存在快慢两种时间尺度，用极小摄动参数 ε≪1区分快慢动态：

慢状态 ：飞行器姿态、角速度，变化缓慢；

快状态（控制器动态）：人为构造的控制输入 u的快速动力学，ε越小，u收敛越快，瞬间满足动态逆等式。

Tikhonov 定理保证：ε→0 时，快动态瞬间达到稳态，此时系统等价于标准动态逆。奇异摄动动态逆就是给非仿射系统强行构造快动态，间接实现动态逆。

对**输入非仿射**系统 $\dot x = f(x,u)$（$u$ 藏在 $f$ 里，没法直接解出），Hovakimyan 与 Lavretsky 提出：人为构造一个关于 $u$ 的**快动态**，让它"逼"$f(x,u)$ 趋向期望值 $x_{\mathrm{des}}$：

$$

\epsilon \dot{u} = -\operatorname{sign}\!\bigl(f_u\bigr)\,\bigl(f(x,u) - \dot x_{\mathrm{des}}\bigr), \qquad f_u \equiv \frac{\partial f}{\partial u}

\qquad (29)

$$

当这个快动态的时间尺度$\epsilon$ 参数趋于 0 时，$u$ 迅速调到使 $f(x,u)\to \dot x_{\mathrm{des}}$。记基于模型的估计 $\dot x_{\mathrm{mdl}} = f(x,u)$，则

$$

\dot{u} = \frac{1}{\epsilon}\,\text {sign}{(\frac{\partial f}{\partial u})}\bigl(\dot x_{\mathrm{des}} - \dot x_{\mathrm{mdl}}\bigr)

\qquad (30)

$$

直观：$u$ 朝"能消除期望与实际之差"的方向爬升/下降，爬坡斜率由 $\operatorname{sign}(f_u)$ 决定。

将系统写为离散方程：

$$\frac{u-u_k}{T_s} = \frac{1}{\epsilon}\operatorname{sign}(f_u)\big(\dot x_{\mathrm{des}} - \dot x_{\mathrm{mdl}}\big)$$

移项整理：

$$u = u_k + \frac{T_s}{\epsilon}\operatorname{sign}\left(\frac{\partial f}{\partial u}\right)\big(\dot x_{\mathrm{des}} - \dot x_{\mathrm{mdl}}\big)$$

该式表明奇异摄动动态逆的控制输出由历史控制量与实时误差修正增量两部分构成，属于典型的增量型控制架构。

如果令 $$\epsilon = T_s\cdot\left|\frac{\partial f}{\partial u}\right|$$代入后控制律可改写为：

$$u = u_k + \frac{\operatorname{sign}\left(\frac{\partial f}{\partial u}\right)}{\left|\frac{\partial f}{\partial u}\right|}\big(\dot x_{\mathrm{des}} - \dot x_{\mathrm{mdl}}\big)$$

针对非零控制增益 $\frac{\partial f}{\partial u}$ 进一步化简，最终得到：

$$

u = u_k + \left(\frac{\partial f}{\partial u}\right)^{-1}\big(\dot x_{\mathrm{des}} - \dot x_{\mathrm{mdl}}\big)

\qquad (31)

$$

该公式与标准模型基增量非线性动态逆（INDI）控制律完全一致，由此完成二者的等价性证明。

从本质逻辑来看，奇异摄动动态逆通过构造连续快动态、依托小参数实现极速误差修正，是从连续时间尺度分离角度构建的控制框架；INDI则是从系统增量泰勒展开的代数角度推导的增量控制框架，二者推导路径完全不同，但在数字离散实现、特定摄动参数整定的前提下，控制输出、稳态性能、动态响应完全等价。

### 3.2 说明

- 此比较针对 SISO 系统；需 $f_u$ 符号已知且可用 $T_s B_m$ 近似。

- 本质是用奇异摄动/时标分离框架**重新解释** INDI，为输入非仿射系统的 INDI 提供另一种理论支撑。

## 4. INDI ≡ LADRC（自抗扰控制）

本节用二阶对象（$n=2,\ m=0$）完整推导 INDI 与 LADRC 的等价性；更高阶情形的证明见 Cai 等（*ISA Transactions*, 2022）。

核心：LESO 本质上就是一个低通滤波器；INDI 对增量加速度的低通滤波与 LESO 做的是同一件事。

考虑二阶 SISO 对象（角位置/角速率系统）：

$$

\ddot y = g(y,\dot y) + b u + w \tag{32}

$$

$b$ 标称值 $b_0$，$\dot y$ 可测。定义总扰动 $f = g(y,\dot y) + (b-b_0)u + w$，则：

$$

\ddot y = f + b_0 u \tag{33}

$$

以 $\dot y$ 为反馈设计二阶 LESO（$m=0$，Cai 式 (4)）：

$$

\begin{aligned}

\dot{\hat x}_2 &= \beta_1(\dot y - \hat x_2) + \hat f + b_0 u \\

\dot{\hat f} &= \beta_2(\dot y - \hat x_2)

\end{aligned}

\tag{34}

$$

$\hat f$ 估计总扰动。拉氏变换（零初值）：

$$

\begin{aligned}

s\hat x_2 &= \beta_1(\dot y - \hat x_2) + \hat f + b_0 u \\

s\hat f &= \beta_2(\dot y - \hat x_2)

\end{aligned}

\tag{35}

$$

由第二式得 $\dot y - \hat x_2 = \dfrac{s}{\beta_2}\hat f$，代入第一式：

$$

s\Bigl(\dot y - \frac{s}{\beta_2}\hat f\Bigr) = \beta_1\frac{s}{\beta_2}\hat f + \hat f + b_0 u

$$

整理：

$$

s\dot y - b_0 u = \hat f\,\frac{s^2 + \beta_1 s + \beta_2}{\beta_2}

$$

于是：

$$

\boxed{\;\hat f(s) = \frac{\beta_2}{s^2 + \beta_1 s + \beta_2}\,

\bigl(s\dot y(s) - b_0 u(s)\bigr)\;} \tag{36}

$$

由式 (33)，$s\dot y = \ddot y = f + b_0 u$，故 $s\dot y - b_0 u = f$。定义二阶低通：

$$

L_1(s) = \frac{\beta_2}{s^2 + \beta_1 s + \beta_2} \tag{37}

$$

得：

$$

\boxed{\;\hat f(s) = L_1(s)\,f(s)\;} \tag{38}

$$

结论：LESO 估计总扰动，本质上就是将 $f$ 通过一个二阶低通滤波器 $L_1(s)$。

LADRC 补偿律：

$$

u = b_0^{-1}(v - \hat f) \tag{39}

$$

$v$ 为外环给出的 $\ddot y$ 参考。将 $\hat f = L_1(s)(s\dot y - u)$（式 (36)，$b_0=1$ 归一化）代入式 (39)：

$$

\begin{aligned}

u &= b_0^{-1}\bigl[v - L_1(s)(s\dot y - u)\bigr] \\

u &= b_0^{-1}v - b_0^{-1}L_1(s)s\dot y + b_0^{-1}L_1(s)u \\

u\bigl(1 - b_0^{-1}L_1(s)\bigr) &= b_0^{-1}v - b_0^{-1}L_1(s)s\dot y

\end{aligned}

\tag{40}

$$

为清晰，先令 $b_0=1$ 推导传递函数形式，最后恢复 $b_0^{-1}$：

$$

u = \frac{1}{1 - L_1(s)}\,v - \frac{L_1(s)}{1 - L_1(s)}\,s\dot y \tag{41}

$$

$L_1 = \dfrac{\beta_2}{D(s)}$，$D(s) = s^2 + \beta_1 s + \beta_2$，则 $1-L_1 = \dfrac{s^2 + \beta_1 s}{D(s)}$。代入：

$$

\frac{1}{1-L_1} = \frac{D(s)}{s^2 + \beta_1 s}

= 1 + \frac{\beta_2}{s^2 + \beta_1 s}

$$

$$

\frac{L_1}{1-L_1} = \frac{\beta_2}{s^2 + \beta_1 s}

$$

恢复 $b_0^{-1}$ 得 LADRC 内环开环传递函数：

$$

\boxed{\;

u(s) = b_0^{-1}\Bigl[

\Bigl(1 + \frac{\beta_2}{s^2 + \beta_1 s}\Bigr)v(s)

- \frac{\beta_2 s}{s^2 + \beta_1 s}\,\dot y(s)

\Bigr]

\;} \tag{42}

$$

下面，推导INDI 内环的形式：

对最内环 $\ddot y = f + b_0 u$ 做一阶泰勒展开：

$$

\ddot y = \ddot y_0 + b_0\,\Delta u \tag{43}

$$

INDI 内环律：

$$

u = u_0 + b_0^{-1}(v - \ddot y_0) \tag{44}

$$

认为$\ddot y_0$ 不可直接测量，对 $\dot y$ 微分后经低通 $L_2(s)$ 滤波；$u_0$ 也经同滤波器同步：

$$

\ddot y_f(s) = s L_2(s)\,\dot y(s), \qquad

u_f(s) = L_2(s)\,u_0(s) \tag{45}

$$

实际实现：

$$

u(s) = u_f(s) + b_0^{-1}\,[\,v(s) - \ddot y_f(s)\,] \tag{46}

$$

取二阶低通滤波器（与 LESO 同阶）：

$$

L_2(s) = \frac{l_2}{s^2 + l_1 s + l_2} \tag{47}

$$

在传递函数分析中，$u_f = L_2 u$（反馈路径中的 $u_0$ 即为输出 $u$ 经滤波），代入式 (46)：

$$

\begin{aligned}

u &= L_2 u + b_0^{-1}\bigl(v - s L_2 \dot y\bigr) \\

u(1 - L_2) &= b_0^{-1}\bigl(v - s L_2 \dot y\bigr) \\

u &= \frac{b_0^{-1}}{1-L_2}\,v - \frac{b_0^{-1}L_2}{1-L_2}\,s\dot y

\end{aligned}

\tag{48}

$$

得 INDI 内环开环传递函数：

$$

\boxed{\;

u(s) = b_0^{-1}\Bigl[

\Bigl(1 + \frac{l_2}{s^2 + l_1 s}\Bigr)v(s)

- \frac{l_2 s}{s^2 + l_1 s}\,\dot y(s)

\Bigr]

\;} \tag{49}

$$

对比式 (42) 与式 (49)：形式完全相同，仅参数符号不同。故：

$$

\boxed{\;l_1 = \beta_1,\ l_2 = \beta_2 \;\Longrightarrow\;

\text{LADRC 与 INDI 内环开环传递函数相同}\;} \tag{50}

$$

下面推导闭环（扰动灵敏度）等价：

外环采用级联比例控制：$v = k_2(k_1(r - y) - \dot y)$。令 $r=0$，联立式 (33) 与式 (42)/(49)，消去 $u,v,y$ 可得扰动驱动闭环传递函数 $S(s) = \ddot y(s)/f(s)$：

$$

S_{\text{LADRC}}(s) = \frac{s^2}{s^2 + k_2 s + k_1 k_2}\,

\bigl[1 - L_1(s)\bigr] \tag{51}

$$

$$

S_{\text{INDI}}(s) = \frac{s^2}{s^2 + k_2 s + k_1 k_2}\,

\bigl[1 - L_2(s)\bigr] \tag{52}

$$

分母由外环增益决定，仅分别含 $L_1$、$L_2$。故：

$$

\boxed{\;L_2(s) \equiv L_1(s) \;\Longrightarrow\;

S_{\text{LADRC}}(s) \equiv S_{\text{INDI}}(s)\;} \tag{53}

$$

开环与闭环传递函数同时等同，INDI 与 LADRC 为同一控制器。

二者都在做"用可测量在线估计总扰动→控制律中减掉→按期望动态整形闭环"，仅估计器名称不同——INDI 叫"增量加速度+低通"，LADRC 叫"LESO"。

对 $n$ 阶对象、可用反馈 $x_{n-m}$，LESO 阶数为 $m+2$。Cai 等证明了相同结论：INDI 的 $m+2$ 阶低通滤波器与 LESO 同阶同参时，开环与闭环传递函数完全一致。详见 Cai 等原文第 3–4 节。

### 说明

- 等价对**积分串联型（可反馈线性化）SISO 对象**严格成立；LESO 须良好整定。

- 等价**充要条件**：INDI 低通滤波器 $L_2$ 与 LESO $L_1$ 同阶同参（式 (47)）；不满足时为近似等价。

- INDI对状态导数的估计有多种办法，等价于ADRC只是其中一种情况，因此可以说，ADRC是一种特定的INDI。

### 适用范围与限制

- 等价对**积分串联型（可反馈线性化）SISO 对象**严格成立；LESO 需良好整定（$\hat f \to f$）。

- 等价**条件**是 INDI 低通滤波器与 LESO 同阶同参（式 (47)）；阶次/参数不匹配时仅为近似等价。

- 不过，INDI对状态导数的估计有多种办法，可以说等价于ADRC只是其中一种。

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## 参考文献

- Acquatella B. P., van Ekeren W., Chu Q. P. PI(D) tuning for Flight Control Systems via Incremental Nonlinear Dynamic Inversion. IFAC-PapersOnLine, 50(1), 2017. arXiv:1701.08981.（第 2 节 INDI≡TDC≡PI(D) 及增益映射）

- Chang P. H., Jung J. H. A Systematic Method for Gain Selection of Robust PID Control for Nonlinear Plants of Second-Order Controller Canonical Form. IEEE TCST, 17(2), 2009.（TDC↔PID、TDE）

- Hovakimyan N., Lavretsky E. 基于奇异摄动的动态逆（经 Steinert 综述 §11.4 转述，第 3 节）。

- Cai Z., Wang Z., Zhao J., Wang Y. Equivalence of LADRC and INDI controllers for improvement of LADRC in practical applications. ISA Transactions, 126, 2022. DOI:10.1016/j.isatra.2021.07.039.（第 4 节 INDI≡LADRC、LESO=LPF、执行机构修正）

- Steinert A., et al. From fundamentals to applications of INDI: A survey – Part I. 2025.（第 3 节奇异摄动、第 2.6 节 DPI/iDPI、第 5 节自适应背景）